xyz

xyz
xyz

Jumat, 17 Agustus 2007

Simetri Matematika

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111= 12345678987654321

Ramalan Isaac Newton Soal Akhir Dunia

oleh: abi[ Sabtu,23 Juni 2007 - 03:29 AM]
Isaac Newton, yang dalam novel Dan Brown “The Da Vinci Code” disebut-sebut sebagai salah seorang tokoh Illuminati Eropa abad pertengahan yang melawan dogma gereja soal gravitasi bumi, ternyata diketahui memiliki sebuah manuskrip rahasia.Manuskrip ini berisi ramalan Newton tentang akhir dunia, yang diambil dari berbagai kitab-kitab kuno dan juga Injil Daniel.Dari sejumlah literatur diketahui bahwa selain menyukai fisika dan matematika, Newton juga tekun mendalami ilmu-ilmu religi, simbol, dan juga ramalan. Yang terakhir ini mendekatkannya kepada perkumpulan-perkumpulan ilmuwan Eropa Kabalah abad pertengahan yang saat itu menjadi musuh bebuyutan gereja.Sebuah perkumpulan atau perserikatan ilmuwan paling terkemuka di Eropa ketika itu bernama Illuminati, yang memiliki arti sebagai “Yang Tercerahkan” (Iluminatrix). Maria Magdalena yang disanjung kelompok Kabbalah pun memiliki nama lain yakni Iluminatrix Queen (Ratu Pencerahan).Sebagai seorang pengikut paham Heliosentris yang diturunkan oleh Aristarchus, Copernicus, dan kemudian Galilei-Galileo, Isaac Newton juga dimusuhi gereja. Secara diam-diam, Newton melakukan penghitungan matematis terhadap umur dunia dengan sumber-sumber dari berbagai kitab ramalan, sejarah, dan juga Alkitab itu sendiri. Newton mendapatkan hasil bahwa setelah Kerajaan Romawi Suci berlalu di tahun 800 M, maka harus ada waktu selang selama 1260 tahun untuk mendirikannya kembali. Hasilnya, Newton menulis, bahwa Kerajaan Romawi Suci akan berdiri dan ini akan menandai Hari Akhir Dunia, pada tahun 2060.Menurut kepercayaan kelompok Kabbalah, di Akhir Dunia, Haikal Sulaiman akan sudah berdiri dan dari sana Sang Messiah (The Christ) akan turun kembali guna memimpin orang-orang Yahudi memerangi seluruh manusia yang tidak mau tunduk pada mereka. Perang ini akan berlangsung dengan hebat di atas bukit Megiddo di kawasan Arab dan sebab itu dinamakan Perang Armageddon.Manuskrip rahasia Newton (The Secrets Newton) ini sempat dipamerkan pada tahun 1969 di Universitas Ibrani di Yerusalem. Dan setelah itu tidak terdengar lagi kabarnya.Riwayat NewtonSir Isaac Newton, 4 Januari 1643 - 31 Maret 1727, merupakan seorang fisikawan, matematikawan, ahli astronomi dan juga ahli kimia yang berasal dari Inggris. Beliau merupakan pengikut aliran heliosentris dan ilmuwan yang sangat berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan dikatakan sebagai bapak ilmu fisika modern.Dengan berbagai hasil karya ilmiah yang dicapainya, Newton menulis sebuah buku Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, di mana pada buku tersebut dideskripsikan mengenai teori gravitasi secara umum, berdasarkan hukum gerak yang ditemukannya, di mana benda akan tertarik ke bawah karena gaya gravitasi.Bekerja sama dengan Gottfried Leibniz, Newton mengembangkan teori kalkulus. Newton merupakan orang pertama yang menjelaskan tentang teori gerak dan berperan penting dalam merumuskan gerakan melingkar dari hukum Kepler, di mana Newton memperluas hukum tersebut dengan beranggapan bahwa suatu orbit gerakan melingkar tidak harus selalu berbentuk lingkaran sempurna (seperti elipse, hiperbola dan parabola).Newton menemukan spektrum warna ketika melakukan percobaan dengan melewati sinar putih pada sebuah prisma, dia juga percaya bahwa sinar merupakan kumpulan dari partikel-partikel. Newton juga mengembangkan hukum tentang pendinginan yang di dapatkan dari teori binomial, dan menemukan sebuah prinsip momentum dan angular momentum.

Kenapa siswa banyak yg gagal ujian??

oleh: afifah rahmania[ Kamis,31 Mei 2007 - 06:40 AM]
Kalau dilihat dari logika ini,sebenarnya bukan salah sang siswa bilaia tidak lulus ujian, belajar pun tidak sempat....

Tahukah Anda, setahun itu hanya terdapat 365 hari?yang kita tahu sebagai tahun akademik siswa....

Kita hitung!
Hari Minggu; 52 hari dalam setahun, Anda pastitahu kalau hari minggu adalah untuk istirahat.

Hari tersisa tinggal 313.

Hari Libur (Nasional maupun Internasional); Tak kurang dari 13 hari Libur setahun.

Hari tersisa tinggal 300.

Liburan sekolah; Jelas semua siswa akan berliburdan tidak akan belajar. Biasanya sekitar 2 bulan lebih, anggaplah sekitar60 hari.

Hari tersisa tinggal 240.

TIDUR 8 Jam sehari untuk kesehatan; berarti 120 hari terpakai.

Hari tersisa tinggal 120.

Tentu kita beribadah kan? paling tidak 1-2 jamkita beribadah, kita alokasikan 25 hari dalam setahun.

Hari tersisa tinggal 95.

BERMAIN yang juga baik untuk kesegaran dankesehatan, paling tidak memerlukan 1 jam sehari. Terpakai lagi 15 hari.

Hari tersisa tinggal 80.

MAKAN! paling tidak selama satu hari kita habiskan2 jam untuk makan/minum, hilang lagi 30 hari.

Hari tersisa tinggal 50.

Jangan lupakan, Manusia adalah makhluk sosial,butuh berinteraksi dengan orang lain, kita ambil 1 jam perhari untuk berbicara. 15 hari terpakai lagi,

Hari tersisa tinggal 35.

Kita pun bisa sakit; paling tidak 5 hari dalamsetahun, sudah cukup mewakili.

Hari tersisa tinggal 30.

Ujian itu sendiri biasanya dilaksanakan selama 2minggu per semester,berarti, 24 hari sudah teralokasi untuk ujian.

Hari tersisa tinggal 6.

Nonton dan jalan-jalan paling tidak 5 hari dalamsetahun.

Hari tersisa tinggal 1 hari.

Satu hari yang sisa itu kan HARI ULANG TAHUN !"Masa' belajar sih?"

Es yang Lebih Panas daripada Air Mendidih

oleh: abi[ Selasa,20 Maret 2007 - 06:03 AM] Hal tersebut dapat dilakukan pada kondisi ekstrim. Para peneliti menggunakan mesin Z di laboratorium Sandia yang dapat menghasilkan panas lebih tinggi daripada suhu di permukaan Matahari. Agar berubah menjadi es, air diberi tekanan 70.000 atmosfer.
Mesin Z di Laboratorium Nasional Sandia, AS..(Foto : www.sandia.com)
"Tiga fasa air yang kita ketahui - es saat dingin, cair pada suhu kamar, dan uap panas - hanya sebagian kecil dari kondisi air," ujar salah satu peneliti di Sandia, Daniel Dolan. Sifat air tidak mengikuti hukum tiga fasa tersebut saat berada pada kondisi ekstrim. Misalnya, lanjut Dolan, memberi tekanan pada air akan memanaskannya, namun dengan tekanan yang ekstrim, air justru memadat menjadi es.Sampai saat ini, setidaknya sudah ada 11 jenis es yang tidak diketahui banyak orang dan diklasifikasikan berdasarkan sifatnya pada suhu dan tekanan tertentu. Salah satu jenis air yang terbentuk pada kondisi ekstrim mungkin pernah Anda dengar yakni air super-dingin. Air jenis ini tetap berbentuk cairan meskipun suhunya di bawah 32 derajat Celcius. Fenomena air dan es memang unik. Jika didinginkan, volume es seharusnya lebih kecil daripada saat berbentuk cair karena memadat. Tapi, kenyataannya es menghabiskan ruang lebih besar daripada saat berbentuk cair pada tekanan atmosfer bukan? Buktikan sendiri dengan meletakkan segelas air di dalam freezer. Namun, pada kondisi ekstrim bertekanan dan suhu tinggi seperti dalam penelitian ini, es justru menyusut dan segera mencair kembali begitu tekanan dilepaskan.Sayangnya para peneliti belum bisa menjelaskan scara spesifik masing-masing kondisi air yang terbentuk pada kondisi ekstrim. Seperti kata Dolan, mengapa hampir dikatakan mustahil membuat es pada tekanan di atas 70.000 atmosfer. Nah, dengan penelitian di Sandia, para peneliti berharap dapat mempelajari sifat-sifat material terutama air pada kondisi ekstrim.

Barcode sandi Setan ???

oleh: abi[ Kamis,31 Mei 2007 - 07:01 AM]
Barcode atau Kode garis-garis batangan bukan barang baru bagi kebanyakan orang. Hampir di seluruh produk buatan pabrik, bahkan kini di banyak produk rumahan, semuanya mencantumkan kode batangan ini. Kode yang terdiri dari garis-garis dengan ketebalan yang bervariasi oleh banyak kalangan dianggap sebagai sesuatu yang mempermudah pengidentifikasian suatu barang. Barcode ini lahir di Amerika Serikat pada awal tahun 1970-an.Pada awalnya orang banyak percaya bahwa pencantuman Barcode pada suatu produk pabrikan semata hanya untuk mempermudah pengindentifikasian dan klasifikasiannya. Namun pada perkembangannya kemudian, Barcode dicurigai sejumlah kalangan sebagai salah satu alat bagi pihak Konspirasi Internasional untuk menguasai dunia menuju apa yang sekarang dikenal dengan istilah “The New World Order”, Tata Dunia Baru. Suatu keadaan di mana seluruh negara-bangsa di dunia ini tunduk pada kekuasaan Amerika Serikat.Dengan ambruknya imperium Soviet Rusia di paruh akhir 1980-an, maka situasi dunia kian cepat menuju ke arah ini, di mana Amerika Serikat menjadi satu-satunya negara adidaya yang tiada tandingannya di seluruh dunia.Perkembangan demi perkembangan global ini, membuat kalangan yang sejak awal mencurigai ada misi tersembunyi di balik penggunaan Barcode, semakin yakin dengan kecurigaannya. Mereka kebanyakan berlatarbelakang sebagai Simbolog, Penulis, Peneliti, dan Pengkaji Alkitab.
Barcode
Salah satunya adalah Mary Stewart Relfe, PhD. Perempuan pengusaha sukses dari Montgomerry, AS, yang juga berprofesi sebagai seorang pilot sekaligus instruktur peralatan Multi Engine Instrument Flight, telah menulis dua buah buku best-seller yang menyoroti konspirasi ini. Salah satunya berjudul “666 The New Money System” (1982).Dalam bukunya tersebut, Mary Stewart yang juga seorang pengkaji Alkitab, sejak kecil sangat yakin bahwa penggunaan Barcode terkait erat dengan rencana-rencana tersembunyi dari konspirasi untuk menguasai dunia.Tiga TahapanMenurut Stewart, upaya Konspirasi untuk menguasai dunia dalam hal pengidentifikasian dan pengendalian dunia terbagi dalam tiga tahapan: tahap pertama dimulai tahun 1970 yang dijadikan titik awal bagi langkah-langkah ini.“Tahun ini merupakan awal bagi mereka dalam memberikan identifikasi pada tiap barang yang ditandai dengan angka pada tingkat manufaktur. Barcode mulai digunakan, diselaraskan dengan sistem komputerisasi yang mampu membaca kode-kode tersebut, ” tulis Stewart.Sasaran utama tahap ke satu ini adalah untuk menyeragamkan sistem dan pabrik komputer raksasa di seluruh dunia, agar mampu mengenali kodifikasi di atas.Tahap kedua dimulai tahun 1973. Penggunaan Barcode yang awalnya diterapkan pada barang manufaktur, kini mulai diterapkan pada manusia, antara lain lewat nomor kodifikasi Angka Kesejahteraan Sosial (The Social Security Number) yang digabungkan dengan sistem pemberian angka secara universal. Penggabungan dua kodifikasi angka ini menjadi kode-kode batangan (Barcode) yang mirip dengan Barcode pada produk manufaktur yang telah diterapkan tiga tahun sebelumnya.Awalnya diterapkan pada kartu-kartu pintar seperti Credit Card, Debit Card, ID Card, dan sebagainya. Namun pada perkembangannya juga mulai diterapkan pada manusia. Target utama tahap kedua ini adalah pemerintahan, perbankan, dan perusahaan-perusahaan pembuat kartu-kartu pintar (Smart Card).Tahap ketiga meliputi usaha untuk mengidentifikasikan setiap macam yang ada di dunia ini, baik yang bergerak maupun yang tidak. Semua pengidentifikasian ini berguna untuk mengetahui sisi lemah suatu kelompok, wilayah, bahkan suatu bangsa, yang nantinya bisa dijadikan senjata bagi Konspirasi.Angka IblisPara pengkritisi Barcode berhasil menemukan salah satu rahasia paling vital dari kode-kode batangan ini. Semua Barcode atau yang juga dikenal sebagai Universal Product Code (UPC) Barcode memiliki angka 666 dan 13.
Sandi Barcode
Untuk mengetahuinya, silakan melihat Barcode yang ada di berbagai produk. Perhatikan jumlah angka yang ada di bawah garis-garis batangan. Jumlahnya selalu 13 angka. Angka 6 yang disimbolkan dalam kamus Barcode terdiri dari dua garis tipis saling berhadapan terletak di sisi paling kiri dan paling kanan Barcode, dan satunya lagi garis paling tengah. Ketiga garis yang melambangkan angka 6 ini lebih panjang dibanding garis-garis lainnya.Jadi, seluruh UPC Barcode yang tersebar di dunia ini memiliki rangka 666. Dalam bukunya, Mary Stewart Refle mengutip salah satu ayat Alkitab: “Dan ia menyebabkan, sehingga kepada semua orang, kecil atau besar, kaya atau miskin, merdeka atau hamba, diberi tanda pada tangan kanannya atau pada dahinya. Dan tidak seorang pun yang dapat membeli atau menjual selain daripada mereka yang memakai tanda itu, yaitu nama binatang itu atau bilangan namanya. Yang penting di sini ialah hikmat: Barangsiapa yang bijaksana, baiklah ia menghitung bilangan binatang itu, karena bilangan itu adalah bilangan seorang manusia, dan bilangannya adalah: 666” (Wahyu 13: 16-18)Stewart meringkas bahaya dari Konspirasi dalam hal Barcode: “Penerapan teknologi Barcode pertama kali dilakukan pada produk barang, disusul kemudian pada kartu, dan akan berubah menjadi sesuatu yang mengerikan dalam masyarakat yang tidak lagi menggunakan uang kontan… “Singkatnya, konspirasi akan menumpuk dan menyedot uang kontan masyarakat ke dalam lemari besi mereka, juga emas dan segala batu mulia, serta mengunci rapat-rapat lemari itu, sedang ke tengah masyarakat mereka hanya memberikan ‘uang plastik’ dengan nominal tertentu.Inilah tipu daya mereka sehingga semua manusia pada saatnya nanti akan tunduk pada konspirasi. “Semuanya ini hanya terjadi dalam satu masa bagi seluruh umat manusia, yakni pada hari akhir zaman, ” ujar Stewart. Wallahu’alam bishawab

Matematika Buksnlsh MoMok!!!!!

By : Setiawan XIA1

Banyak orang yang menganggap matematika sebagai “momok”, padahal matematika merupakan salah satu pelajaran yang menyenangkan… Karena menyangkut kehidupan kita sehari-hari... Dan matematika merupakan dasar dari hampir semua mata pelajaran yang ada di sekolah... Saya juga mengakui bahwa terkadang matematika terasa membosankan, karena ada beberapa pokok bahasan yang tidak menarik dalam matematika... Contohnya statistika, padahal statistika sangat berguna bagi kehidupan kita...

Banyak ilmuwan terkenal yang juga menyukai matematika, contohnya : Albert Einstein; Pierre De Fermat; Phytagoras; dan masih banyak lagi... Mempelajari matematika bagaikan bermain dengan angka... Saya selalu menganggap matematika sebuah permainan... Angka2 yang rumit bagaikan labirin, penyelesaiannya bagaikan jalan keluar dari labirin tersebut... Dan ketika berhasil memperoleh penyelesaian, rasanya senang sekali, dan rasanya ingin dipamerkan kepada teman2... Namun adakalanya penyelesaian itu tidak berhasil diperoleh... Kalau sudah begitu, rasanya penasaran banget!!!!

Setelah mengikuti club matematika yang ada di sekolah, saya semakin menyukai matematika, rasanya saya lebih memilih belajar matematika daripada pelajaran yang lain di sekolah... Makanya saya selalu merasa senang apabila diikutsertakan dalam suatu perlombaan matematika, karena biasanya akan mendapat bimbingan dari guru matematika, sehingga saya tidak perlu mengikuti pelajaran lainnya lagi...

Jadi, saya sarankan bagi teman2 khususnya anak2 kls X, yang masih bingung memilih Exkul apa yang akan diikuti, sebaiknya memilih Exkul matematika... Selain seru, dan menyenangkan, kita jg bisa berbagi cerita dan pengalaman di dalam Exkul matematika...

Minggu, 05 Agustus 2007

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara

  1. Memfaktorkan

    a
    x² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
    ®
    x1 = - p/a dan x2 = - q/a

    dengan p.q = a.c dan p + q = b
  2. Melengkapkan bentuk kuadrat
    persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
    (x + p)² = q²
    ® x + p = ± q
    x
    1 = q - p dan x2 = - q - p
  3. Rumus ABC
    ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a

    bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
    sehingga X
    1,2 = (-b ± ÖD)/2a

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a

didapat hubungan

X1 + X2 = -b/a

X1.X2 = c/a

X1 - X2 = ÖD/a

Limit Fungsi Trigonometri

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x
® 0 ) maka sin x » x
(x <<<>» setara )

l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x ® 0 x x ® 0 x

l i m x = 1 l i m x = 1
x ® 0 sin x x ® 0 tg x

PERLUASAN

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x ® 0 bx


l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx


l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx



l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x


HAL-HAL KHUSUS

l i m axm + bxm-1 + .... =
x ® ¥ pxn + qxn-1 + ...
¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m <>

l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f
x ® ¥
¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a <>

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR


1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3

2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2

atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10

atau langsung gunakan hal khusus


4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥

l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar

l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3

atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3

2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0

1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x

3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0

2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0

2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )

cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

Logaritma

BATASAN

Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.

a log b = c ® ac = b ® mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a ¹ 1)
b = numerus (b > 0)
c = hasil logaritma

Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :

alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n

SIFAT-SIFAT

1. alog bc = alogb + alogc
2. alog bc = c alog b
3. alog b/c = alog b -alog c ® Hubungan alog b/c = - a log b/c
4. alog b = (clog b)/(clog a)
® Hubungan alog b = 1 / blog a
5. alog b. blog c = a log c
6. a alog b = b
7. alog b = c ® aplog bp = c
® Hubungan : aqlog bp = alog bp/q
= p/q alog b

Keterangan:

  1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.

    [
    log 7 maksudnya 10log 7 ]

  2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
    Bedakan dengan log xn = n log x

Contoh:

  • Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !
    syarat : numerus > 0
    x² -4x - 5 < 0
    (x-5)(x+1) <>

    -1 <>



  • Sederhanakan

    2 3log 1/9 + 4log 2 = 2(-2) + 1/2 =
    3log 2. 2log 5 .52log 3 3log 2.2log 5. log3

    - 3 1/2 = -3 1/2 = -7
    3log 31/2 1/2



  • Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 !

    9log 8 = n
    log 2³ = n
    3/2 3log 2 = n
    3log 2 = 2n
    3

    4log 3 = log 3
    = 1/2 ²log 3
    = 1/2 ( 1/(³log 2) )
    = 1/2 (3 / 2n)
    = 3/4n



  • Jika log (a² / b4) Tentukan nilai dari log ³Ö(b²/a) !

    log (a²/b4)
    log (a/b²)²
    2 log ( a/b²)
    log ( a/b² )
    log ³Ö(b²/a)
    = -24
    = -24
    = -24
    = -12
    = log (b²/a)1/3
    = 1/3 log (b² / a)
    = -1/3 log (a/b²)
    = -1/3 (-12) = 4
  • Teorema Phytagoras

    Ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani pada abad ke 6 SM bernama Phytagoras telah mencetuskan teorema bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, panjang sisi miring kuadrat besarnya sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya. Teorema ini dikenal sebagai teorema Pythagoras, dinyatakan sebagai berikut :
    c2 = a2 + b2
    a : panjang sisi tegak
    b : panjang sisi datar (alas)
    c : panjang sisi miring

    Pembuktian teorema di atas adalah sebagai berikut :

    Perhatikan bagun persegi ABCD dan EFGH pada gambar di atas. Luas daerah persegi EFGH = c2 , sedangkan luas daerah persegi ABCD adalah : (a + b) (a + b) = a2 + 2 ab + b2

    Luas daerah segitiga-segitiga yang mengelilingi persegi EFGH besarnya sama yaitu : 1/2 ab. Jika luas keempat segitiga tersebut dijumlahkan, maka diperoleh : 4 x 1/2 ab = 2 ab. Dari gambar kita tahu bahwa luas daerah persegi EFGH besarnya sama dengan luas daerah persegi ABCD dikurangi luas daerah keempat segi tiga yang mengelilingi persegi EFGH.

    Luas persegi EFGH = Luas persegi ABCD - 4 luas segitiga yang mengelilingi persegi EFGH

    c2 = (a2 + 2 ab + b2) - 2 ab

    c2 = a2 + b2

    Pembuktian teorema Phytagoras ini dapat dilakukan dengan beberapa cara praktis dan menarik sebagai berikut :

    Cara I

    Buatlah gambar segitiga ABC dengan sudut siku-siku di A beserta persegi-persegi yang salah satu sisinya adalah sisi-sisi segitiga pada selembar kertas atau karton. Persegi pada sisi siku-siku yang besar dibagi menjadi 4 bagian yang kongruen dengan garis KL//BC dan PQ ( KL, dengan PQ dan KL adalah garis yang melalui titik potong diagonal persegi tersebut. Selanjutnya potonglah bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku dan letakkan pada bidang persegi pada sisi miring. Bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku akan tepat menutupi bidang persegi pada sisi miring jika disusun sesuai dengan nomor-nomor yang tertera pada gambar.

    Cara II

    Buatlah gambar segitiga ABC dengan sudut siku-siku di A beserta persegi-persegi seperti cara 1 pada selembar kertas atau karton. Pada persegi ABLM dibuat garis KL // BC dan KT // OC, sedangkan pada persegi PCAR dibuat garis QA // BC dan QS // OC. Kemudian potonglah bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku dan letakkan pada bidang persegi pada sisi miring. Bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku akan tepat menutupi bidang persegi pada sisi miring.

    Cara III.

    Dengan cara yang sama seperti cara-cara sebelumnya, kita lakukan potongan persegi persegi yang baru sebuah segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di A seperti pada gambar di bawah ini. Pada persegi ABLM dibuat garis -garis yang sejajar dan tegak lurus, ED // LM dan XY ( LM. Bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku yang terbentuk akan tepat menutupi bidang persegi pada sisi miring.

    Silahkan buat dengan cara yang sama dengan model potongan yang lain, sehingga dapat membuktikan secara benar teorema phytagoras. Selamat mencoba !!!